Introducción a los movimientos planetarios: Leyes de Kepler, Gravitación Universal y Velocidad Orbital

Leyes de Kepler

Johannes Kepler (1571-1630) enunció tres leyes describiendo el movimiento de los planetas, basándose en los datos obtenidos por Tycho Brahe. La primera de ellas es la Ley de las órbitas, y determina que las órbitas de cualquier planeta son elípticas siendo el Sol uno de sus focos. Este hecho supuso una gran ruptura en aquella época ya que hasta entonces se creía que las órbitas eran circulares.

Como consecuencia de que las órbitas no son circulares sino elípticas, se introdujeron nuevos conceptos para describir la trayectoria que describía cada cuerpo. Entre ellos están el perihelio y el afelio, que indican la distancia más corta y más larga respectivamente a la que un determinado cuerpo se puede encontrar mientras está orbitando. Estos conceptos están además relacionados de forma cercana con la excentricidad de las órbitas de los cuerpos. Este parámetro está asociado al grado de desviación de una sección cónica respecto a un círculo, siendo la excentricidad de un círculo 0, la de una elipse entre 0 y 1, la de una parábola 1, y la de una hipérbola mayor que uno

En el caso de los movimientos planetarios, al tener sus órbitas forma de elipse se encuentran entre 0 y 1. Además puede calcularse de la siguiente forma:

excentricidadformula

Donde c es la distancia entre el foco entorno al que gira un cuerpo y el centro de la elipse, y a la distancia del centro de la elipse al semieje mayor.

excentricidad

Por otro lado encontramos la Ley de las áreas, que determina que las áreas barridas por el radio vector que une el foco en torno al cual gira un cuerpo y dicho cuerpo son directamente proporcionales al tiempo empleado en barrerlas:

ley-de-las-areas-de-kepler

En consecuencia, esto determinaría que los astros no se mueven a velocidad constantes como se creía antes de estas leyes.

Por último encontramos la Ley de los periodos, que determina que los cuadrados de los periodos orbitales de distintos cuerpos que giran en torno a una misma masa son directamente proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de sus respectivas órbitas elípticas:

ley-de-los-periodos-formula-kepler

Teoría de la gravitación universal

A partir de las Leyes de Kepler, Newton dedujo esta ley suponiendo las siguientes afirmaciones que podía observar en el Sistema Solar:

  1. El Sol y los planetas son considerados partículas debido a que las distancias relativas que los separan son considerablemente mayores a sus tamaños.
  2. El sistema de referencia está fijo en el Sol, y todos los movimientos se producen respecto a él.
  3. Los planetas describen órbitas circulares con una aceleración igual a la velocidad al cuadrado partido del radio de órbita. Aunque no es del todo correcta, se puede aplicar para los planetas ya que la excentricidad de la mayoría de sus órbitas es muy pequeña.
  4. Las órbitas de los planetas no se ven afectadas por el movimiento del resto de planetas, solo por la fuerza más significativa que es la del Sol

Basándose en estos principios la ley de Newton enuncia que dos cuerpos cualesquiera del Universo se atraen mutuamente con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, r, que existe entre sus centros.[1]

tguniversal-formula-1

Donde G es igual a la constante de gravitación universal equivalente a 6,665·10-11·N·m2·kg-2.

Esta fórmula nos permite calcular además la velocidad orbital ya que sabemos que el sumatorio de fuerzas en los cuerpos es igual a la masa del objeto por su aceleración normal en este caso. Además la aceleración normal es igual al cuadrado de la velocidad entre el radio de la circunferencia que describe dicho cuerpo, en consecuencia:

tguniversal-formula-2

Donde M es la masa sobre la cual el cuerpo gira, m la masa del cuerpo, r el radio de órbita del cuerpo y G la constante de gravitación universal.

Velocidad orbital precisa

Para la realización de la práctica, también será conveniente obtener la velocidad máxima y mínima que recorre cada astro alrededor de toda su trayectoria elíptica, para ello se utilizará la siguiente fórmula para calcular dicha velocidad en el afelio y perihelio que son los momentos que nos interesan.

velocidad-orbital-precisa-formula

Donde G es la constante de gravitación universal; M, la masa del foco en torno al cual el cuerpo gira; b, es la distancia a la que se quiere calcular la velocidad y a, el semieje mayor de la elipse.

 

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